L'espérance de gain : le calcul que l'investisseur fait et que l'autre oublie
L'espérance de gain : le calcul que l'investisseur fait et que l'autre oublie
Deux personnes engagent cent euros le même soir. La première les place sur un fonds indiciel, la seconde les emporte pour une soirée de jeu. Elles ne font pas le même pari, mais elles peuvent faire le même calcul : l'espérance mathématique, qui tient en une phrase. On multiplie chaque résultat possible par sa probabilité, puis on additionne. Ce qui sépare un épargnant méthodique d'un joueur occasionnel n'est pas l'accès à ce calcul, mais le fait de le poser et de savoir ce qu'il ne dit pas.
L'essentiel à retenir
- L'espérance de gain est la moyenne pondérée des résultats possibles : chaque montant multiplié par sa probabilité, le tout additionné. Elle donne le résultat moyen à très long terme, jamais celui de la prochaine fois.
- Un placement en actions a historiquement une espérance positive, un divertissement payant une espérance négative par construction. Ce n'est pas un jugement moral : c'est une différence de nature entre les deux opérations.
- Maximiser l'espérance est un mauvais objectif pris isolément. Le paradoxe de Saint-Pétersbourg décrit un jeu dont l'espérance est infinie et auquel personne de sensé ne paierait vingt ducats.
- La volatilité ronge le rendement réel : gagner 50 % puis perdre 50 % laisse une perte de 25 %, alors que la moyenne arithmétique des deux variations vaut zéro.
- Le principal obstacle au calcul n'est pas l'arithmétique mais les biais. L'aversion aux pertes est mesurée à environ 1,96, ce qui veut dire qu'une perte pèse pratiquement deux fois plus lourd qu'un gain identique.
Qu'est-ce que l'espérance de gain, concrètement ?
Prenons un exemple minuscule : 40 % de chances de gagner 10 €, 60 % de chances de perdre 5 €. L'espérance se calcule ligne par ligne, soit 0,40 × 10 = +4 € puis 0,60 × (−5) = −3 €, total +1 €. Sur un très grand nombre de répétitions, ce pari rapporte en moyenne un euro par tentative, même si une tentative isolée ne rapportera jamais exactement cela.
Trois précisions évitent la plupart des erreurs d'usage.
- L'espérance n'est pas une prévision. Elle décrit une moyenne de longue durée, pas un résultat individuel : un pari à espérance positive peut perdre dix fois d'affilée.
- Elle vaut ce que valent les probabilités introduites. Un calcul propre sur des probabilités inventées reste inventé.
- Elle ignore la dispersion. Deux placements de même espérance peuvent suivre des trajectoires sans rapport, l'un régulier, l'autre capable de vous faire perdre la moitié de votre capital.
À quoi ressemble ce calcul sur un investissement ?
Sur les marchés, personne ne connaît les probabilités exactes ; on raisonne donc sur l'historique long. Les séries annuelles tenues par Aswath Damodaran à la NYU Stern suivent ce que deviennent 100 dollars placés au début de 1928 jusqu'à la fin de 2025, soit 98 années de rendements.
| Placement | Valeur fin 2025 de 100 $ placés début 1928 | Rendement annuel équivalent |
|---|---|---|
| Actions américaines (S&P 500) | 1 157 598,95 $ | ≈ 10,0 % |
| Obligations d'État à 10 ans | 7 752,88 $ | ≈ 4,5 % |
| Bons du Trésor à 3 mois | 2 578,30 $ | ≈ 3,4 % |
La troisième colonne ramène la multiplication totale à une moyenne géométrique sur 98 ans. Ces chiffres sont bruts d'inflation, de frais et de fiscalité, et portent sur un seul marché : ce sont des ordres de grandeur, pas une promesse. Le constat est net. L'écart entre les actions et les bons du Trésor n'est pas un cadeau, c'est le prix payé par celui qui accepte de voir son capital fondre de moitié de temps en temps. L'espérance supérieure est la contrepartie d'une dispersion supérieure.
À quoi ressemble-t-il sur une soirée de divertissement ?
La même arithmétique s'applique et donne systématiquement un signe négatif. C'est structurel : un opérateur redistribue une partie des mises et conserve le reste, sans quoi il n'existerait pas. Dans son examen des probabilités des jeux de la Loterie Nationale, la RTBF relève qu'un billet à gratter Subito à 10 euros rapporte en moyenne 7,28 euros, soit 72,8 % de la mise restituée et une perte moyenne de 27,2 % par billet : l'espérance vaut donc −2,72 €. Le même article rappelle qu'au Lotto la probabilité du gros lot est de 1 sur 8 145 060 et celle de gagner quelque chose de 1 sur 10,67. À l'EuroMillions, la probabilité du rang principal est de 1 sur 139 838 160. Les jackpots en ligne poussent cette structure à l'extrême : probabilité très faible, gain très élevé, redistribution sur un nombre immense de joueurs. L'espérance y reste négative, mais la dispersion est sans commune mesure.
Le bon cadrage n'est donc pas « ce pari est-il rentable », puisque la réponse est connue d'avance, mais celui de n'importe quelle dépense de loisir : combien coûte la soirée, et le prix en vaut-il la peine ? Un restaurant a lui aussi une espérance de −100 % et personne ne s'en indigne ; la différence est que son prix est affiché à l'entrée, tandis que celui d'une soirée de jeu doit être calculé.
Pourquoi « maximiser l'espérance » est-il un cadrage trompeur ?
Parce qu'un critère unique, poussé à bout, produit des recommandations absurdes. La démonstration la plus ancienne reste le paradoxe de Saint-Pétersbourg, posé par Nicolas Bernoulli dans une lettre de 1713. On lance une pièce jusqu'à obtenir face, et le gain double à chaque pile. L'espérance s'écrit ½ × 2 + ¼ × 4 + ⅛ × 8 + … = 1 + 1 + 1 + … et ne converge jamais : elle est infinie. Qui maximiserait uniquement l'espérance devrait donc payer n'importe quelle somme pour participer. Daniel Bernoulli, qui a traité le problème en 1738, observait qu'un homme raisonnable céderait volontiers sa place pour une vingtaine de ducats, et en a tiré l'idée que compte non le montant mais son utilité, qui augmente de moins en moins vite à mesure que l'on s'enrichit.
La version moderne est plus terre à terre. Une espérance positive ne protège pas de la ruine : si une séquence de pertes vous retire du jeu, la moyenne de long terme ne vous concerne plus. Et cette moyenne est trompeuse quand les résultats se multiplient au lieu de s'additionner : gagner 50 % puis perdre 50 % donne 100 → 150 → 75, soit une perte de 25 %, alors que la moyenne arithmétique des deux variations vaut zéro. Plus un placement est volatil, plus l'écart se creuse entre la moyenne et ce que l'on touche.
Le rapport risque-rendement, en langage simple
Puisque l'espérance seule ne suffit pas, il faut lui adjoindre une mesure de dispersion. C'est ce que fait le ratio de Sharpe, proposé par William F. Sharpe en 1966 dans le Journal of Business et révisé par son auteur en 1994 : on retire du rendement d'un placement le rendement sans risque, puis on divise par l'écart-type de cet excédent. En clair, combien de rendement supplémentaire a été obtenu par unité d'agitation subie.
L'idée pratique est simple : un rendement ne se juge jamais seul. Deux portefeuilles à 7 % par an ne se valent pas si l'un a oscillé entre 4 et 10 % et l'autre entre −30 et +45 %. Et l'investisseur qui ignore cette dispersion finit presque toujours par vendre au pire moment, ce qui transforme une volatilité théorique en perte réelle.
Quels biais faussent le calcul ?
- L'aversion aux pertes. La méta-analyse de Brown, Imai, Vieider et Camerer (2024, Journal of Economic Literature) a rassemblé 607 estimations issues de 150 articles publiés entre 1992 et 2017 et situe le coefficient moyen à 1,955. Une perte de 100 € pèse donc à peu près autant que la privation d'un gain de 196 €.
- La disponibilité. On juge la fréquence d'un événement à la facilité avec laquelle on en trouve un exemple. Les gagnants sont médiatisés, les perdants non, et la probabilité ressentie s'en trouve gonflée.
- L'erreur du joueur. Croire qu'une série défavorable rend le résultat suivant plus probable. Sur des tirages indépendants, le passé ne change rien.
- La comptabilité mentale. Traiter un gain récent comme de l'argent qui ne compte pas, et le risquer selon des règles que l'on n'appliquerait jamais à son salaire.
- La confusion entre probabilité et possibilité. Une chance sur 139 millions est une possibilité réelle et une probabilité négligeable. Le cerveau traite mal les très petits nombres.
Que peut en retenir un épargnant ?
- Poser le calcul avant d'engager l'argent. Écrire les résultats possibles et leurs probabilités force à expliciter des hypothèses qui restent sinon de simples impressions.
- Séparer les budgets selon la nature de l'opération. Une espérance positive relève de l'épargne et se juge sur des années ; une espérance négative relève du loisir et se juge comme une dépense décidée d'avance.
- Ne jamais regarder un rendement sans sa dispersion. La question utile n'est pas « combien cela rapporte » mais « quelle est la pire trajectoire que je peux traverser sans changer d'avis ».
Questions fréquentes
Comment calculer l'espérance de gain d'un pari simple ?
Multipliez chaque résultat possible par sa probabilité et additionnez, en comptant les pertes en négatif. Pour 30 % de chances de gagner 20 € et 70 % de chances de perdre 10 € : 0,30 × 20 = +6, 0,70 × (−10) = −7, soit une espérance de −1 €.
Une espérance positive garantit-elle de gagner ?
Non. Elle indique une moyenne de long terme, à condition de répéter l'opération très souvent et de survivre aux séries défavorables. Sur un petit nombre de tentatives, la dispersion domine la moyenne.
Pourquoi l'espérance d'un divertissement payant est-elle toujours négative ?
Parce qu'une partie des mises n'est pas redistribuée. C'est le modèle économique lui-même, identique pour un billet à gratter ou un ticket de loterie ; seule l'ampleur de la retenue varie.
L'espérance suffit-elle pour choisir un placement ?
Non, et c'est l'enseignement du paradoxe de Saint-Pétersbourg. Il faut lui ajouter une mesure de dispersion, un horizon de temps et une évaluation honnête de ce que l'on peut perdre sans changer de comportement.
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